◎丁丁虫

    物理学家理查德·费曼说，微积分是上帝的语言。这是他劝历史小说家赫尔曼·沃克去学微积分时说的话。沃克出版过两部关于二战的大部头小说，合计超过2000页，足以说明他不是一个缺乏毅力的人。但这样一位杰出的小说家挑战微积分的结果是什么呢？他找了一些入门书，翻了几本教科书，还跑去旁听高中生的微积分课程，最终收获到的只有挫败和走出教室时同情的掌声。

    其实学习微积分，可以不用沃克那种学法。对于没有考试压力的人来说，学习微积分到底是要学什么？记住一些微积分的符号和公式，掌握一些运算技巧，这算是学会微积分吗？实际上，《欢乐微积分》的作者本·奥尔林也有这个疑问：“通过不断地练习，直到完成机械的记忆……这就像在用一种你根本不会说的语言记账。”

    虽然作者并不确定这样的态度是否对所有人都适用，但至少他在书中展示的微积分不是那种应试的、机械的、需要大量练习的符号体系，而是试图让读者们理解这些符号代表了什么。借用作者自己的话说是“尝试从数学中提炼出人生智慧”。

    想了解作者是怎么向读者讲解微积分的，我们不妨来看几个书中出现的题目。

    第一个题目其实来自于古希腊哲学家芝诺。不过在过去的两千年里，大部分时间芝诺都被贬低为“诡辩学家”，因为他提出了一些看似非常荒谬但又难以辩驳的问题，比如那个著名的“阿基琉斯永远追不上乌龟”的悖论。它的一个变种是说宅家一族永远无法走出房门，因为你要走到门口，必须先走到房间一半的位置，然而要走到一半的位置，又要走到一半的一半位置……于是你将陷在“一半”组成的无尽迷宫中，永远走不到尽头。

    这个问题实际上揭示出了极限概念的反直觉之处，而极限也是微积分最为核心的概念。书中还给出了另一个同样涉及到极限概念的问题：0.999999……是不是等于1。这个问题经常会在网络上引发争论，因为它的表述如此简单，连小学生都能理解，但理解它的答案却需要深入掌握微积分的核心概念。不过我更喜欢作者用坐标轴展示的悖论：

    想象一条平静如水的X轴，也就是一条无限延伸的横线。现在，这条横线上出现了一个三角形的波浪，并且它会沿着横线不断向右移动。在它经过时，横线上的点会短暂地升高，偏离X轴，但当它离去时，一切又会复归于这条横线，直到永远。所以长久来看，这条线上的每个点总会收敛到横线上，这意味着整个画面的极限是一条水平线，也就是0——但是三角波去哪里了？极限像核弹毁灭一切那样，彻底抹平了它的存在吗？

    当然，书中不是只有这样的数字游戏，也有一些粗看毫不起眼，但其实涉及到宇宙本质的问题。比如作者专门用了一章来写埃尔维斯的故事。它是一只“懂得微积分”的柯基犬，原因是它的主人把球扔到海里的时候，埃尔维斯不会笔直冲向目标，而是会先沿着海滩跑一段，然后再跳进海里游向那个球。

    这里需要稍微解释一下的是，埃尔维斯在海滩上奔跑的速度当然要比海里游泳的速度快，所以先跑一段有助于缩短拿到球的时间。实际上，埃尔维斯的主人——一位数学教授就认为，埃尔维斯选择了一条最佳路径，确保自己能在最短时间里拿到球。

    书中对这个现象的解释是，千百万年间的进化“教会”了狗狗运用微积分找到最快路径。因为最快路径意味着能够最快获取食物；而只有这样的基因，才会在自然选择的压力下传递给后代。不过只要我们稍稍发散一下思维就会意识到，会选择最短路径的并不只有生命体。比如说，没有意识的光，做得甚至比有智慧的生命更好。插一根筷子到水里，会看到筷子好像折断了。这正是因为光线从水里射出、照入我们眼睛的时候，没有走直线，而是像埃尔维斯一样，走了一条折线的缘故。

    为什么没有意识的光也能找到最快路径？有一种理论认为，这是无数宇宙中的无数条光子路径叠加的结果。虽然这个理论目前没有任何办法证实，但它确实提醒我们，开头那句费曼的话也许真有几分道理，微积分可能确实是上帝用来创造宇宙的工具。

    到这里，我们大约可以理解作者是怎么讲微积分的了。不过还要补充一点的是，作者很擅长把微积分的概念（而不是公式）同一个个故事关联起来，于是我们会看到哈姆雷特、马克吐温，当然也少不了牛顿和莱布尼茨。

    我们可以随时拿起这本书，翻到其中任何一章开始读，也可以随意跳过任何一个不太感兴趣的章节。书里的故事不是项链，没有循序渐进的要求。它们更像是散落的宝石，点缀在人文主义的沙滩上，在微积分海浪的洗礼下散发出柔和的光芒。