■新知

    数学家新发现了一种可以不重叠、无间隙地铺满平面的五边形，这是第15种可以镶嵌平面的五边形，也是近30年来的首个新发现。

    在数学中，如果你可以只用一种图形没有重叠、没有间隙地铺满一个平面，那么这种图形就被称为可以“镶嵌”这个平面。

    显然，任意一种三角形以及任意一种四边形都可以镶嵌平面。不过，当考虑到五边形，事情就变得有趣起来。正五边形是无法镶嵌平面的，但一些特殊的不规则五边形却可以。

    德国数学家卡尔·莱因哈特（Karl Reinhardt）于1918年发现了五种可以镶嵌平面的五边形，从那时起，寻找可以镶嵌平面的五边形并将它们分类就成为了一个数学世纪难题。

    很多人都认为莱因哈特已经把所有可以镶嵌平面的五边形都找出来了，但事实并非如此：1968年，R·B·克什纳（R. B. Kershner）又发现了三种；1975年，理查德·詹姆斯（Richard James）将纪录刷新到了9种；同年，一位默默无闻的数学先驱也加入其中——马乔里·赖斯（Marjorie Rice），圣地亚哥一位50多岁的家庭主妇。她从《科学美国人》杂志中获知了詹姆斯的发现，作为一名业余数学家，赖斯发明了自己的数学符号和方法，并在接下来的几年内发现了另外四种可以镶嵌的五边形。1985年，罗尔夫·施泰因（Rolf Stein）发现了第14种。似乎这样的五边形还会越来越多。

    不过，在那之后五边形追踪行动似乎陷入了低谷，直到上月，华盛顿大学的凯西·曼（Casey Mann）、詹尼弗·麦克劳德（Jennifer McLoud）与大卫·冯·达尔尤（David Von Derau）再次将人们的目光吸引到了五边形镶嵌问题上。

    “我们利用计算机穷举法检验了一个基数很大但有限的五边形集合，”凯西说，“我们对这个小家伙的发现感到非常高兴而又有些意外。”

    大多数数学家对五边形镶嵌仍感兴趣，因为五边形是镶嵌问题中唯一没有被研究透彻的图形。

    “可镶嵌凸五边形的分类难题很容易描述，连小孩都可以理解，但100年以来一直没有出现完美的解答，”凯西说，“这个难题也有着丰富的历史，它与著名的‘希尔伯特23问’中的第18个问题有关。”

    五边形镶嵌的潜在应用价值也给对它进行的研究注入了一些活力。“我们在自然界看到的很多结构——从水晶到病毒——都是由一些小的基本单元构成的，这些基本单元被几何学与力学支配着，从而统一起来形成一个大的结构。”他补充道。

    “我很难肯定地预测是否还会在新的五边形被发现，不过至今还没有证据表明没有其他五边形了，所有我们可能还能找到几种。但是随着计算机穷举的继续，收集的数据会越来越多，我们有望做出最后的预测。”

    （稿件来源:环球科学 撰文：Alex Bellos 翻译：李轩）