2023年07月28日 星期五
运筹帷幄之中 善数不用筹策
——中国古代重要科技发明创造(七)
图1、图2为《十进位值制与算筹记数》纪念封。
图3为中国算筹计数的纵横二式同印度—阿拉伯数字对应图。
(图片由中国集邮有限公司提供)
无定
马国馨
院士篆刻

    □ 王渝生

    余生趣潭

    记数和计算是数学最基础的内容。中国是世界上数学最发达的国家之一,数字在中国最早出现是在新石器时代晚期,距今大约6000年。在这之前,我们的祖先采用结绳、契木等办法来表示数的概念,即所谓“结绳记事”“契木为文”。其实,后来甲骨文中的“数”字就取自结绳的形象。契木或其他形式的刻画记数是数字产生的基础。当人们可以通过某种规则的刻画来表达数字的时候,数字就自然而然产生了。根据现有的资料来看,最迟在仰韶文化半坡时代,我国已经有了可以称得上数字的刻画符号。

    从现已发现的3000多年前的商代陶文和甲骨文中,我们可以看到当时人们已经能够用“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万”13个记数文字,表示十万以内的任何自然数了。这些记数文字的形状,在后世虽有所变化最终成为现在的写法,但记数方法却从没有改变和中断,一直沿袭至今并日趋完善。

    十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法,对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。十进位值制包括十进位和位值制两条原则。“十进位”即不同数位间满十进一;“位值制”则是不同数位上的相同数值用同一个数字符号表示,符号的位置非常重要。如3位数“111”如在十进制下,右边的“1”在个位上表示1个1,中间的“1”在十位上就表示1个10,左边的“1”在百位上则表示1个100。这样,就使整数表示和演算变得简便易行。

    正如李约瑟所说的:“如果没有这种十进位值制,就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”

    中国早期比较普遍而又典型的十进位值制记数法是算筹记数法。算筹本身非常简单,就是长条形小棍。材质可能是竹、木、金属、骨头乃至象牙,但主要是竹和木,尤以竹质为多,所以表示算筹的字往往从“竹”,如算、筭、筹、策,等等。1954年,在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根战国时的竹算筹,是已知最早的算筹实物。此后,在陕西千阳县等地还出土了骨制、铅制、象牙制等不同材质的古代算筹。

    古代用算筹排列成基本数字一至九,有纵横两种形式。《孙子算经》中有押韵的顺口溜:“凡算之法,先识其位。一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。”是说个位数用纵式、十位数用横式、百位用纵式、千位用横式、万位用纵式,依此类推,交替使用纵横两式。遇到零,算筹记法是不放算筹,以空位表示。中国的零用空位先用框“□”表示,以后演变为圈“○”,同印度—阿拉伯数字中的“0”类似。但是,中国零的发明渊源有自,并非从印度传入。

    《汉书·律历志》称:“其算法用竹,径一分,长六寸,二百七十一枚而成六觚,为一握。”这里的“算”是名词,它指的是一种古老的计算工具——算筹。几千年里,它是中国古人最常用的计算工具,有人认为,“策”字代表的是手握一束算筹,开展算计谋划的形象。直到元代以后算盘全面普及,算筹才逐渐退出了历史舞台,筹算演变为珠算。

    有趣的是,中国的成语中也有算筹和筹算。“运筹帷幄”出自司马迁《史记·张良传》,是说张良带兵打仗,夜宿帐蓬之中,还在案桌上摆弄算筹,计算兵力、辎重、粮草、行军路程等,夸张良“运筹策帷幄之中,决胜于千里之外”。而老子《道德经》称“善数不用筹策”,这是夸精通数学的人,可以不用算筹进行计算,用心算即可,后引申为“算计”的意思。

    总之,在十进位值制记数基础上,用算筹摆成数字进行计算称之为筹算。所以“算术”的原意是指筹算的技术。这是中国数学特有的名称,这一名称恰当地概括了中国数学依赖于算筹,且以算为中心的特点。从一定意义上说,中国古代数学史就是中国筹算史。

    (作者系国家教育咨询委员会委员,中国科技馆原馆长、研究员)

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